¿Que son los polinomios?

                                             Los Polinomios

En matemáticas, un polinomio es una expresión matemática constituida por un conjunto finito de variables (no determinadas o desconocidas) y constantes (números fijos llamados coeficientes), utilizando únicamente las operaciones aritméticas de suma, resta y multiplicación, así como también exponentes enteros positivos. En términos más precisos, es una relación n-aria de monomios, o una sucesión de sumas y restas de potencias enteras de una o de varias variables indeterminadas.

Es frecuente el término polinómico, como adjetivo, para designar cantidades que se pueden expresar como polinomios de algún parámetro, como por ejemplo: tiempo polinómico, etc.

Los polinomios son objetos muy utilizados en matemáticas y en ciencia. En la práctica, son utilizados en cálculo y análisis matemático para aproximar cualquier función derivable; las ecuaciones polinómicas y las funciones polinómicas tienen aplicaciones en una gran variedad de problemas, desde la matemática elemental y el álgebra hasta áreas como la física, química, economía y las ciencias sociales.

En álgebra abstracta, los polinomios son utilizados para construir los anillos de polinomios, un concepto central en teoría de números algebraicos y geometría algebraica.

 

Valor numérico de un polinomio

Partiendo de un polinomio , el cálculo del valor numérico que ese polinomio toma para un valor concreto de , , se obtiene sustituyendo la variable del polinomio por el valor y se realizan las operaciones. El resultado de es valor numérico del polinomio para . En el caso general:

tomará un valor para , de:

Ejemplo:

Dado el polinomio:

cual es su valor para , sustituyendo x por su valor, tenemos:

Con el resultado de:

El caso:

es la raíz del polinomio o ecuación polinómica que en este ejemplo es cuadrática.

Nota: cuando un terminos tiene grado 0 se llama termino independiente

Grado de un polinomio

Se define el grado de un monomio como el exponente de su variable. El grado de un polinomio es el del monomio de mayor grado. 

Ejemplos

         P(x) = 2, polinomio de grado cero (el polinomio solo consta del término independiente).

P(x) = 3x + 2, polinomio de grado uno.

P(x) = 3x² + 2x, polinomio de grado dos.

P(x) = 2x3+ 3x + 2, polinomio de grado tres.

Convencionalmente se define el grado del polinomio nulo como . En particular los números son polinomios de grado cero.

                                Polinomio ordenado y reducido                                                                       

Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado.

P(x) = 2x4 + 5x3 - 3x2 + 3x - 9

Un polinomio esta reducido cuando simplificamos a los monomios semejantes y así obtener un polinomio mas pequeño y con menos terminos

Ejemplo

P(x)=2x2-x3+4x-5x3+3x2-12

P(x)=-x3-5x3+2x2+3x2+4x-12

P(x)=-6x3+5x2+4x-12

POLINOMIOS COMPLETOS E INCOMPLETOS

Polinomio Completo

Un polinomio se dice completo con relación a una variable si al ordenarlo éste contiene todas las potencias de la variable, comprendidas entre la mayor potencia y la potencia con exponente cero.

Ejemplos:

 1 + x

3 + x + 4x2

90 + 34x + 24x2 + 909x3 + 9

3546 + x + x2 + x3 + x4 + x5

Polinomio Incompleto

El Polinomio Incompleto es aquel polinomio que no tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.

Ejemplos: 

x3 + x2 - 1x +23

x9 + 3x6 - 4x4 + 6x3 - 5